Processi stocastici con mean reversion: Ornstein–Uhlenbeck

Premessa

Il processo di poisson è utile per andare a misurare dei salti che possono avvenire sia per gli :

• Stock→ ci sono gli overnight  changes ovvero i cambiamenti di prezzo che avvengono durante la chiusura dei mercati. Quando chiude il marcato alla sera ad una certa ora, e poi la mattina c'è la riapertura il prezzo potrà essere diverso( in generale lo è).
• Futures → tradano anche overnight, però si pone il problema dei salti di prezzo che si formano alla scadenza cioè alla maturità dei futures. Cioè alla scadenza del contratto, con il nuovo contratto si genera un gap(un salto) che  può generare due casi :

1) Contango → Il fenomeno per la quale il prezzo del nuovo  futures è superiore allo spot price
2) Backwordation → se  prezzo del futures è inferiore allo spot price

Perché introdurre i  processi mean reversion ?

Si è osservato che per molti strumenti finanziari soprattutto quelli riferiti alle commodites(materie prime) vi è una tendenza a fluttuare attorno a prezzi di equilibrio.  Invece una path  ad esempio del mbg che ha una varianza degli incrementi proporzionale allo scorrere del tempo. 



Questo andamento per le commodities non va bene in quanto non si osserva questo tipo di andamento nella realtà. Ma molto spesso c'è un prezzo di equilibrio a cui il prezzo tende ("vuole ritornare"). Ad esempio il range del petrolio è vasto ma non è infinito, quindi un processo "esplosivo" come raffigurato qui sopra, non è adeguato. Per descriverlo quindi c'è una certa tendenza ad una fluttuazione intorno ad uno o più prezzi di equilibrio. Quindi c'è la necessità di introdurre nei nostri modelli il discorso della mean reversion.
Quindi utilizzeremo:

1)Abm + mean reversion
2)Gbm + mean reversion

Il modello più semplice che contempla il concetto di mean reversion è il cosidetto modello di :

Ornstein–Uhlenbeck 

che è una semplice variante del moto-browniano generalizzato, che ci diceva che la variazione del prezzo :



Cioè gli incrementi sono indipendenti e stazionari con questa distribuzione.

Il modello  di Ornstein–Uhlenbeck: esso è una

variante del moto browniano in cui la variazione di prezzo generalizzato è pari a

Rispetto alla formula equivalente del moto browniano notiamo come la componente sistematica μ sarà sostituita da

mentre la componente stocastica rimane tale.

Esso indica che esiste una costante theta chiamata Reversion spead che riporta il prezzo ad un livello di equilibrio. Questa forza o tendenza verso il livello di equilibrio sarà tanto più forte quanto maggiore è theta e quanto più è lontano il prezzo corrente dal prezzo di equilibrio. Quindi questa costante 𝜃 è una sorta di molla.

Questo modello è anche chiamato il modello Vasicek. 

Lo scopo di introdurre il  modello di  Vasicek(Ornstein–Uhlenbeck) è quello di avere traiettorie realistiche, perchè un prezzo che va a infinito non è realistico. Altre cose andrebbero corrette, come il fatto di assumere una varianza costante ma ciò non è imprescindibile per ciò che stiamo osservando.