Il processo di Poisson e la sua relazione con varie distribuzioni statistiche

Ricapitoliamo quanto visto fin'ora

1) Rw

2) Bm che sarebbe lo scaling limit della rw, cioè può essere visto come il limite di una rw con 𝚫t →0,  preso un intervallo finito ad esempio se prendiamo un intervallo unitario e via via riduciamo gli intervalli  tra i salti, mantenendo costante  la varianza finale del processo. Si può dimostrare attraverso il teorema di donsker (tlc) cioè utilizzare il  teorema fondamentale del limite centrale, dove la rw ~ mb.

3)Gbm si distingue dal bm perchè gli incrmenti sono :

• moltiplicativi anziché additivi 
• siamo andati a modellizzare i cosidetti  Return cioè il tasso di crescita
• qui i prezzi a differenza del bm formano una  lognormale.

Perché introdurre il processo di poisson ?

Il processo di poisson è molto utilizzato nelle applicazioni (sopratutto finanziarie) perché serve a modellizzare  dei  salti improvvisi del valore di certi beni o di prezzi di certi strumenti finanziari.

4) il processo di posson  come appena annunciato serve a modellizzare una situazione in cui ci siano dei salti aleatori in certi tempi. E' un processo continuos time  cioè definito nel tempo continuo ed ha spazio degli stati  che può assumere è discreto cioè è un processo continuos time/ discrete time.

Vediamo e commentiamo le proprietà :

1) la prima proprietà  ci dice che il processo a zero deve valere zero

2) la seconda proprietà ci dice che 

• Il numero di eventi contati in intervalli di tempo disgiunti sono indipendenti, ovvero le variabili aleatorie

{\displaystyle (N_{t_{k}}-N_{t_{k-1}}),\dots (N_{t_{1}}-N_{t_{0}})\qquad \forall t_{0}=0\leq t_{1}<\dots <t_{k}}

3) la terza proprietà ci  dice che la proprietà di avere un salto nell'intervallo  è pari a lambda volte l'ampiezza del salto, cioè più è largo l'intervallo che considero e maggiore è la probabilità che avvenga un salto. Noi nel mb assumevamo che gli incrementi fossero indipendenti e stazionari, dove stazionari significava che la distribuzione di probabilità dell'incremento I t.c I ~ N(0,𝚫t), ora abbiamo qualcosa di abbastanza analogo cioè che la probabilità di fare il salto all'interno dell'intervallo è proporzionale all'ampiezza dell'intervallo questa costante di proporzionalità è un parametro del processo ed è  λ ed è il tasso di arrivo  degli eventi.

4) la quarta proprietà ci dice che la probabilità di avere due o più salti nell'intervallo  è trascurabile.

Noi semplicemente impostando il fatto di avere un probabilità  p = λ𝚫t   otteniamo questa sequenza di risultati 

• la distribuzione dei tempi  è uniforme
• la distribuzione dei tempi di interarrivo è un  esponenziale negativa da cui si può dimostrare che ad esempio per il  primo tempo di interarrivo, ma vale per tutti i tempi di interarrivo   per l’indipendenza e la stazionarietà dei salti. Indicando con A1il primo tempo di interarrivo , si ha che : P(A1 ≤ t) = 1- P(A1> t) = 1-e-λt , che corrisponde quest’ultima espressione alla funzione di ripartizione di una variabile esponenziale negativa.L’ultimo passaggio è stato ricavato in quanto P(A1> t)= P(N(t)=0)= e-λt
• la distribuzione del processo stesso interpretato come prezzo  o  numero degli arrivi è una poisson che converge ad una normale  per n→∞

Quindi il  processo di Poisson ha la caratteristica di essere legato ad altre distribuzioni. Ad esempio per n→∞ e λ=np costante, il processo di Poisson può essere ottenuto come limite della distribuzione binomiale. Quest’ultima ha distribuzione di probabilità:

Ponendo np=λ , quindi p=λ/n

L’ultimo fattore presente al denominatore →1 per n→∞

Distribuzione di Poisson: Pr{k successi per n→∞ e λ costante}

in quanto per il limite noto dell’esponenziale: (1-λ/n)n → e-λ.

Da dove siamo partiti?

Siamo partiti da una bernoulliana ed abbiamo trovato che il processo non è nient'altro una somma di questi salti , quindi somma di bernoulliane. Quindi il nostro processo di poisson, indicandolo con N(t)  il nostro valore è una somma di bernoulliane  e quindi vuol dire che è una distribuzione binomiale. Ma abbiamo detto che la binomiale per 𝚫t → 0 mantenendo λ costante, il limite della biniomale è un poisson. Poi la poisson si dimostra che a sua volta tende ad una normale

Quindi da bernoulliana → binomiale→ poisson → normale

Poi siamo andati a  vedere i tempi di arrivo → uniforme

poi abbiamo visti gli interrarivi( i tempi tra un arrivo e l'altro) →  esponenenziale negativa(λ ) dove la media = 1/λ cioè il reciproco del tasso di arrivo.