Definizione differenziale del processo Geometric Brownian Motion e significato intuitivo/motivazione

Riepilogo

Precedentemente abbiamo visto il moto browiano aritmetico definitivo nel seguente modo :

• un processo continuo 
• incrementi stazionari distribuiti secondo una normale con media uguale a zero  e varianza pari all'ampiezza dell'intervallo

Perché introdurre il moto browiano geometrico ?

Si ha la necessità di passare ad un moto browniano geometrico, in quanto il moto browniano artimetico ha vari problemi :

1) primo problema :  per quanto riguarda la modellizzazione finanziaria, cioè procedendo per incrementi additivi, anche se partissi da un processo iniziale relativamente alto con un tempo sufficientemente  ampio, siccome la varianza è proporzionale al tempo che trascorre, potrei avere valori negativi. Se gli do sufficientemente tempo, tutte le traiettorie che via via posso generare, hanno varianza potenzialmente più grandi e quindi è possibile che vadano al negativo. Già questo ci fa capire che questo modello non è adeguato per analizzare i prezzi in quanto può generare prezzi negativi e questo non corrisponde alla situazione realistica.

2) secondo problema : quando rapportiamo i prezzi di  beni o di stock, non ragioniamo in termini additivi ma in termini di

tasso di incremento. In quanto :

Nota bene 

Quello che conta dal punto di vista della interpretazione finanziaria non è l'incremento assoluto  del prezzo ma quello dell'incremento relativo. 

A noi ci interessa un modello  moltiplicativo, il nostro obiettivo è quello di passare da una forma additiva →  ad una  forma moltiplicativa, cioè da  un moto  bowniano aritmetico  :

Ad un moto browniano geometrico:

In termini differenziali otteniamo che :

Oltre alle differenze concettuali e del tipo di modello da applicare sul prezzo, i due processi variano anche per quanto riguarda la distribuzione:

• In ABM(Arithmetic Brownian Motion) abbiamo che la distribuzione del prezzo è normale, in quanto la sommatoria di tante normali date dagli incrementi di prezzi che sono distribuiti normalmente.

• In GBM(geometric brownian motion) avendo che il differenziale del prezzo non è più una sommatoria di variabili normali, ma è uguale al prodotto del prezzo per l'incrmento di Wiener. 

Per ottenere la distribuzione del prezzo ci si  deve sbarazzare di questo prodotto e quindi  si utilizza il logaritmo e si sfrutta la proprietà per la quale :

Con questa proprietà  risulta come una somma di logaritmi e il logaritmo dell'incremento  è normale cioè se :

 

Se il logaritmo naturale della variazione di prezzo tende ad una normale allora → prezzo è log-normale. Abbiamo risolto  i due problemi iniziali, cioè :

1) problema dei prezzi negativi  

2) problema dell'interpretazione degli incrmeenti