Definizione differenziale del processo di Wiener

Premessa
Fin'ora abbiamo iniziato a generare i nostri primi processi aleatori:

• Random walk 
• Forma discretizzata  di moto browniano

quindi siamo maggiormente  in grado di comprendere l'essenza della definizione teorica del moto browniano o processo di Wienier. Ed è composto dalle seguenti proprietà:

1. La prima proprietà  sta a sta a significare che il processo deve avere un valore iniziale. Perché poi il processo lo definisco  in termini di incrementi, è necessario  un punto iniziale.
2. La seconda proprietà sta a significare che la funzione è continua in t con probabilità 1, cioè la parte generata deve essere continua per ogni t. Invece nel caso discreto abbiamo una funzione che non è continua ma presenta continuamente dei salti.
3. La terza proprietà ci dice che il processo ha incrementi stazionari, indipendenti
4. la quarta proprietà ci dice che l'incremento del processo  si distribuisce come una N(0,t).

Analizziamo queste proprietà, in particolar modo  il fatto che comunque prendiamo un intervallo, la media  e la varianza dell'incremento sono rispettivamente uguale a 0 e all'ampiezza dell'intervallo. Inoltre assumiamo pure che la distribuzione oltre ad avere  media e varianza caratterizzate in questo modo, inoltre assumiamo che la distribuzione sia normale. Questo perché posso approssimare la mia somma che nel continuo può diventare arbitrariamente grande, in condizione tale da poter applicare il TLC in cui posso approssimare la mia somma di v.a iid con una variabile normale. La proprietà di stazionarietà riguarda la distribuzione  dell'incremento, t.c  I~ N(0,Δt ).

• Se consideriamo  il processo di Wiener sotto forma di equazione differenziale si parla SDE(stochastic difference equation), cioè anziché considerare un Δt arbitrario, lo si considera infinitamente piccolo, si passa al differenziale Δt nel processo di Wiener classico
• 
  

Questa formula esprime la variazione del prezzo  in termini di incrementi infinitivamente piccoli. Cosa significa?
Cioè un  incremento stazionario, t.c I~ N(0,Δt ) è pari ad un incremento di Wiener  

Se consideriamo  il processo di Wiener sotto forma di equazione differenziale si parla SDE(stochastic difference equation),  si passa al differenziale Δt nel processo di Wiener generalizzato cioè con le rispettive costanti:

Il drift 𝜇  e il fattore di scala 𝞂