Significato del teorema funzionale del limite centrale per processi aleatori e la sua analogia con il teorema del limite centrale

Premessa

Precedentemente abbiamo visto la Random Walk bernoulliana, definita:

•  in un tempo discreto → discrete time. 

Oltre al tempo discreto come è definita  la Random Walk, ci sono dei processi stocastici definiti

•  in un tempo continuo → continuous time.

Cosa c'è dietro?

Se rendiamo fitto l'insieme dei tempi che consideriamo, cioè se prendiamo tempi sempre più vicini, ci avviciniamo ad una situazione di continuità, che  è quella che ritroviamo nei modelli matematici continuous time.  Il modello più importante e che nella teoria dei processi stocastici svolge il ruolo analogo a quello della  distribuzione normale nell'ambito delle distribuzioni, è il Moto Browniano o Processo  di Wiener. Quindi è l'analogo della distribuzione normale per le distribuzioni, cioè il risultato più importante della teoria statistica. Cioè  per le distribuzioni esiste il Teorema Centrale del limite che ci dice che sotto opportune condizioni se consideriamo la media di una successione di v.a  Sia  una delle  variabili aleatorie indipendenti e identicamente distribuite, se standardizzo la media sottraendo la media delle singole variabili e rapporto allo scarto quadratico medio delle media campionaria allora : se esistono   e , con  (ovvero ).

Posto ${\displaystyle \displaystyle Y_{n}={\frac {\sum _{j=1}^{n}X_{j}-n\mu }{\sigma {\sqrt {n}}}}}$ allora ${\displaystyle Y_{n}}$ presenterà una distribuzione normale standard, ${\displaystyle Y_{n}{\stackrel {D}{\to }}Y\sim N(0,1)}$.

Abbiamo una convergenza in distribuzione  ad un normale standardizzata. Per i processi aleatori esiste un risultato analogo a questo,quindi  un risultato di convergenza, però che non riguarda la singola variabile aleatoria ma tutto il processo nel suo insieme. Cioè se partiamo da un Random Walk qualsiasi, sempre sotto opportune condizioni di regolarità. Non importa quale sia la variabile aleatoria che utilizziamo  all'infittirsi dei tempi tende ad un Moto Browniano ovvero è il limite teorico  a cui tende questo ti po di RW quando la differenza dei  tra i Ti → 0 (si infittiscono i tempi). Si parla di Teorema Centrale del limite funzionale per dire che è riferito a tutta quanta la funzione(tutto quanto il processo aleatorio) e non alla singola variabile aleatoria. Si parla anche di Teorema di Donsker, esistono  due tipi di Moto Browniano :

1) Aritmetic BM

2) Geometric BM