Brownian motion

Che cosa è il moto browniano ?

È il moto incessante e disordinato di piccolissime particelle sospese in acqua o gas. Lo scoprì il botanico scozzese Robert Brown, che nel 1827 osservò col microscopio particelle di polline.
Il moto browniano è un modello probabilistico utilizzato inizialmente per descrivere l’evoluzione nel tempo di fenomeni rilevanti del mondo fisico, come i movimenti nello spazio di particelle immerse in un fluido, e successivamente applicato con successo anche a problematiche di tipo economico-finanziario. In particolare è il moto browniano geometrico ad essere utilizzato per la descrizione dell’evoluzione nel tempo del prezzo delle azioni.  

Il moto browniano, noto anche come processo di Wiener, è un processo stocastico gaussiano in tempo continuo con incrementi indipendenti.

Un processo di Wiener  è caratterizzato dalle seguenti proprietà:

• Il processo parte da 0, ovvero  quasi certamente;
• Le traiettorie, ovvero le funzioni  sono continue quasi certamente;
• Il processo ha incrementi indipendenti, ovvero, scelti quattro tempi (gli intervalli  e   non si intersecano), allora

 e sono variabili casuali indipendenti.

• Il processo ha incrementi gaussiani, ovvero scelti due tempi 

 dove  denota una distribuzione normale con media  e varianza .

Esistono due tipi di Moto Browniani:

• Moto Browniano Aritmetico;
• Moto Browniano Geometrico, molto usato nell’ambito finanziario.

Nasce un problema legato al fatto che la distribuzione degli incrementi del moto browniano è proporzionale al tempo, quindi al passare del tempo la varianza diventa sempre piiù grande.La soluzione sarebbe considerare il fenomeno della Mean Reversion intesa come la tendenza dei prezzi azionari ad essere “attratti” verso il loro valore medio di lungo periodo. La differenza tra un processo di Mean Reversion ed il moto Browniano è semplicemente nel termine di deriva: infatti esso è positivo se il livello di prezzo corrente è inferiore alla media e negativa se il livello di prezzo è superiore, indicando appunto che tale livello di equilibrio attrae verso di sé la deriva.